Studijní plány a sylaby FJFI ČVUT v Praze

-

Aktualizace dat: 25.11.2016

english

Navazující magisterské studiumMatematická fyzika
1. ročník
předmět kód vyučující zs ls zs kr. ls kr.

Povinné předměty

Kvantová teorie pole 102KTP1 Hořejší 4+2 z,zk - - 9 -
Předmět:Kvantová teorie pole 102KTP1prof. RNDr. Hořejší Jiří DrSc. / RNDr. Novotný Jiří CSc.4+2 Z,ZK-9-
Anotace:Rovnice relativistické kvantové mechaniky. Lagrangeovský formalismus v klasické teorii pole. Úvod do kvantové teorie pole.
Osnova:1. Klein-Gordonova rovnice
2. Diracova rovnice
3. Invariance Diracovy rovnice vůči vlastním Lorentzovým transformacím
4. Řešení Diracovy rovnice pro volnou částici
5. Částice s nulovou klidovou hmotou
6. Diracova rovnice pro částici ve sféricky symetrickém potenciálním poli
7. Spektrum energií atomu vodíkového typu
8. Lagrangeovský formalismus v relativistické teorii klasických polí
9. Symetrie a zákony zachování, teorém Noetherové
10. Úvod do kvantové teorie pole
Osnova cvičení:Procvičení úloh na témata:
1. Klein-Gordonova rovnice
2. Diracova rovnice
3. Invariance Diracovy rovnice vůči vlastním Lorentzovým transformacím
4. Řešení Diracovy rovnice pro volnou částici
5. Částice s nulovou klidovou hmotou
6. Diracova rovnice pro částici ve sféricky symetrickém potenciálním poli
7. Spektrum energií atomu vodíkového typu
8. Lagrangeovský formalismus v relativistické teorii klasických polí
9. Symetrie a zákony zachování, teorém Noetherové
10. Úvod do kvantové teorie pole
Cíle:Znalosti:
Základy relativistické kvantové mechaniky a úvod do kvantové teorie pole

Schopnosti:
Řešení jednoduchých úloh z relativistické kvantové teorie
Požadavky:02TEF2, 02KVAN, 02KVAN2
Rozsah práce:
Kličová slova:Klein-Gordonova rovnice, Diracova rovnice, kvantovaná pole, interakce kvantovaných polí, S-matice, Feynmanovy diagramy
Literatura:Povinná literatura:
[1] J. Formánek: "Úvod do relativistické kvantové mechaniky a kvantové teorie pole", Karolinum, Praha 2000

Doporučená literatura:
[2] S. Weinberg: The quantum theory of fields, Vol. 1, Cambridge University Press, Cambridge 1995

Grupy a reprezentace02GR Chadzitaskos 2+1 z,zk - - 3 -
Předmět:Grupy a reprezentace02GRprof. Ing. Chadzitaskos Goce CSc.2+1 Z,ZK-3-
Anotace:Přednáška bude zaměřena na úvod do teorie a fyzikálních aplikací konečných grup a jejich reprezentací.
Osnova:1. Symetrie ve fyzice a její matematická realizace.
2. Základní pojmy teorie grup a jejich popis.
3. Akce grupy na množině, konečné grupy.
4. Faktor grupy, prosté grupy.
5. Klasifikace diskrétních grup.
6. Sylowova věta, abelovské grupy.
7. Teorie reprezentací
8. Schurovo lemma, grupová algebra.
9. Reprezentace konečných grup, ireducibilita, Maschkeova věta.
10. Charaktery reprezentací, ortogonalita.
11. Tabulky charakterů.
12. Reprezentace grup v Hilbertových prostorech.
Osnova cvičení:Pologrupy, grupy, okruhy
Klasifikace grup daného řádu
Reprezentace grup
Cíle:Znalosti:
Metody klasifikace diskrétních grup a jejich reprezentace.

Schopnosti:
Určovat irreducibilní reprezentace a klasifikovat grupy vybraných řádů
Požadavky:Žádné
Rozsah práce:
Kličová slova:Symetrie, grupy, reprezentace grup, charaktery
Literatura:Povinná literatura:
[1] H.F. Jones: "Groups, Representations and Physics", 2nd Ed., IOP, Bristol 1998

Doporučená literatura:
[2] D.S. Dummit, R.M. Foote: "Abstract Algebra", John Wiley and Sons, 2004
[3] C.W. Curtis and I. Reiner: "Representation Theory of Finite Groups and Associative Algebras", John Wiley and Sons, NY 1962
[4] I.M. Isaacs: "Character Theory of Finite Groups", Dover, NY 1976

Kvantová fyzika 01KF Havlíček - - 4+2 z,zk - 6
Předmět:Kvantová fyzika01KFprof. Ing. Havlíček Miloslav DrSc.-4+2 Z,ZK-6
Anotace:Základní postuláty a postupy kvantové teorie prezentované matematicky korektním způsobem.
Osnova:1. Stavy, pozorovatelné
2. Základní postuláty kvantové fyziky a mechaniky
3. Smíšené stavy
4. Superselekční pravidla
5. Kompatibilita, úplné množiny kompatibilních pozorovatelných
6. Relace neurčitosti
7. Kanonické komutační relace
8. Časový vývoj
9. Feynmanův integrál
10. Nekonzervativní systémy
11. Složené systémy
12. Identické částice
Osnova cvičení:1. Opakování spektrálních rozkladů, pohyb částice na omezeném intervalu
2. Ano-ne experimenty
3. Poloha a impuls, smíšené stavy
4. Konzervativní a nekonzervativní systémy
5. Tenzorový součin, složené systémy, statistické operátory
6. Druhé kvantování
Cíle:Znalosti:
Postuláty a postupy kvantové mechaniky a pokročilejší kvantové teorie formulované za pomoci matematicky korektního formalismu.

Schopnosti:
Výpočet spekter Hamiltonových operátorů a řešení dalších základních úloh kvantové mechaniky pomocí matematicky rigorózních metod.
Požadavky:Základní kurzy matematické analýzy a lineární algebry (dle přednášek na FJFI ČVUT v Praze 01MA1, 01MAA2-4, 01LAB1, 01LAA2).
Rozsah práce:
Kličová slova:Nerelativistická kvantová mechanika, kvantová teorie, matematicky popis.
Literatura:Povinná literatura:
[1] Blank, Exner, Havlíček: Lineární operátory v kvantové fyzice, Karolinum, Praha, 1993

Doporučená literatura:
[2] Formánek: Úvod do kvantové teorie I., II., Academia, 2004

Geometrické metody fyziky 202GMF2 Tolar - - 2+2 z,zk - 5
Předmět:Geometrické metody fyziky 202GMF2prof. Ing. Tolar Jiří DrSc.-2+2 Z,ZK-5
Anotace:Geometrie klasických kalibračních teorií. Lieovy grupy a algebry. Hlavní a přidružený fibrovaný prostor. Konexe, křivost. Diracův monopól.
Osnova:1. - 4. Geometrie klasických kalibračních teorií. Lieovy grupy a algebry.
5. - 8. Hlavní a přidružený fibrovaný prostor.
9. - 12. Konexe, křivost.
13. Diracův monopól.
Osnova cvičení:Procvičení úloh na témata:
1. - 4. Geometrie klasických kalibračních teorií. Lieovy grupy a algebry.
5. - 8. Hlavní a přidružený fibrovaný prostor.
9. - 12. Konexe, křivost.
13. Diracův monopól.
Cíle:Znalosti:
Geometrie klasických kalibračních teorií

Schopnosti:
Aplikace moderních geometrických metod v teoretické fyzice
Požadavky:02GMF1
Rozsah práce:
Kličová slova:Fibrovaný prostor, konexe v hlavním fibrovaném prostoru, paralelní přenos, lokalizace konexe, kalibrační potenciály, kalibrační pole, kovariantní derivace
Literatura:Povinná literatura:
[1] M. Nakahara: Geometry, Topology and Physics, IOP Publishing, Bristol 1998

Doporučená literatura:
[2] C.J. Isham: Modern differential geometry for physicists, World Scientific, Singapore 1999

Lieovy algebry a grupy02LIAG Šnobl - - 3+2 z,zk - 6
Předmět:Lieovy algebry a grupy02LIAGdoc. Ing. Šnobl Libor Ph.D.-3+2 Z,ZK-6
Anotace:Definice a základní vlastnosti Lieových grup a algeber. Různé typy Lieových algeber, systémy kořenů a klasifikace prostých komplexních Lieových algeber. Úvod do teorie jejich reprezentací.
Osnova:1. Lieova grupa, Lieova algebra a jejich vztah.
2. Exponenciální zobrazení.
3. Podgrupy a podalgebry, homogenní prostory.
4. Univerzální nakrytí.
5. Lieovy algebry - základní pojmy.
6. Killingova forma.
7. Věta Lieova a Engelova.
8. Cartanova kriteria.
9. Cartanova podalgebra.
10. Systémy kořenů.
11. Klasifikace prostých komplexních Lieových algeber.
12. Reprezentace prostých Lieových algeber.
Osnova cvičení:1. Grupy GL(n), SL(n), O(n), SO(n), U(n), SU(n), Sp(2n), Af(1).
2. Algebry gl(n), sl(n), o(n), so(n), u(n), su(n), sp(2n), af(1).
3. Souvislost a maximální tory SU(n), SO(n).
4. Exponenciela sl(2) do SL(2).
5. Klasifikace Lieových algeber do dimenze 3.
6. Killingova forma Lieových algeber do dimenze 3.
7. Systémy kořenů algeber A_l,B_l,C_l,D_l.
8. Tensorový součin representací.
9. Reprezentace SU(3) a jejich význam v částicové fyzice.
Cíle:Znalosti:
Základní pojmy a poznatky z teorie Lieových grup a algeber.

Schopnosti:
Aktivní použití základních pojmů teorie Lieových grup
Požadavky:Základní znalosti z 02GMF1 nebo 02DRG, tj. varieta, vektorová pole, integrální křivky apod.
Rozsah práce:
Kličová slova:Lieovy grupy, Lieovy algebry, klasifikace prostých Lieových algeber, reprezentace Lieových algeber.
Literatura:Povinná literatura:
[1] D.H. Sattinger, O.L. Weaver: Lie Groups and Algebras, Springer Verlag 1986.
[2] K. Erdmann, M.J. Wildon: Introduction to Lie Algebras, Springer Verlag 2006.

Doporučená literatura:
[3] H. Samelson: Notes on Lie algebras, Springer Verlag 1990.
[4] R. Gilmore: Lie groups, Physics and Geometry, CUP 2008.
[5] R. Penrose: The Road to Reality: A Complete Guide to the Laws of the Universe, Vintage 2007.

Zimní škola matematické fyziky02ZS Tolar 1 týden z - - 1 -
Předmět:Zimní škola matematické fyziky02ZSprof. Ing. Tolar Jiří DrSc.1týd. Z-1-
Anotace:Student na základě zadání práce a pod vedením školitele zpracovává individuálně zadané téma po dobu 2 semestrů.
Osnova:Student na základě zadání práce a pod vedením školitele zpracovává individuálně zadané téma po dobu 2 semestrů.
Osnova cvičení:
Cíle:Znalosti:
Individuální tématika podle zadání práce.

Schopnosti:
Samostatná práce na zadaném úkolu, orientace v dané problematice, sestavení vlastního odborného textu.
Požadavky:
Rozsah práce:Předmět je dán samostatnou činností studenta na zadaném tématu. Práce
jsou průběžně kontrolovány školitelem a příslušnou katedrou.
Kličová slova:
Literatura:Literatura a další pomůcky jsou dány zadáním práce.

Výzkumný úkol 1, 202VUMF12 Hlavatý, Tolar 0+6 z 0+8 kz 6 8
Předmět:Výzkumný úkol 102VUMF1prof. RNDr. Hlavatý Ladislav DrSc. / prof. Ing. Tolar Jiří DrSc.----
Anotace:Student na základě zadání práce a pod vedením školitele zpracovává individuálně zadané téma po dobu 2 semestrů.
Osnova:Student na základě zadání práce a pod vedením školitele zpracovává individuálně zadané téma po dobu 2 semestrů.
Osnova cvičení:
Cíle:Znalosti:
Individuální tématika podle zadání práce.

Schopnosti:
Samostatná práce na zadaném úkolu, orientace v dané problematice, sestavení vlastního odborného textu.
Požadavky:
Rozsah práce:Předmět je dán samostatnou činností studenta na zadaném tématu. Práce
jsou průběžně kontrolovány školitelem a příslušnou katedrou
Kličová slova:Výzkumný úkol
Literatura:Literatura a další pomůcky jsou dány zadáním práce.


Předmět:Výzkumný úkol 202VUMF2prof. RNDr. Hlavatý Ladislav DrSc. / prof. Ing. Tolar Jiří DrSc.----
Anotace:Student na základě zadání práce a pod vedením školitele zpracovává individuálně zadané téma po dobu 2 semestrů.
Osnova:Student na základě zadání práce a pod vedením školitele zpracovává individuálně zadané téma po dobu 2 semestrů.
Osnova cvičení:
Cíle:Znalosti:
Individuální tématika podle zadání práce.

Schopnosti:
Samostatná práce na zadaném úkolu, orientace v dané problematice, sestavení vlastního odborného textu.
Požadavky:
Rozsah práce:Předmět je dán samostatnou činností studenta na zadaném tématu. Práce
jsou průběžně kontrolovány školitelem a příslušnou katedrou
Kličová slova:Výzkumný úkol
Literatura:Literatura a další pomůcky jsou dány zadáním práce.


Volitelné předměty

Kvantová teorie pole 202KTP2 Hořejší - - 4+2 z,zk - 6
Předmět:Kvantová teorie pole 202KTP2prof. RNDr. Hořejší Jiří DrSc. / RNDr. Novotný Jiří CSc.-4+2 Z,ZK-6
Anotace:Lagrangeovský formalismus v klasické teorii pole. Kanonické kvantování volných polí. Interakce kvantovaných polí. Poruchový rozvoj S-matice. Feynmanovy diagramy. Kvantová elektrodynamika. Regularizace a renormalizace.
Osnova:1. Lagrangeův formalismus v relativistické teorii klasických polí.
2. Symetrie a zákony zachování. Teorém Noetherové.
3. Lokální kalibrační transformace.
4. Kvantování volných polí a částicová interpretace.
5. Interakce kvantovaných polí: Příklady.
6. Poruchový rozvoj S-matice.
7. Relativisticky invariantní amplituda přechodu.
8. Reprezentace amplitud přechodu pomocí Feynmanových diagramů.
9. Kvantová elektrodynamika
10. Regularizace a renormalizace.
Osnova cvičení:Procvičení úloh na témata:
1. Lagrangeův formalismus v relativistické teorii klasických polí.
2. Symetrie a zákony zachování. Teorém Noetherové.
3. Lokální kalibrační transformace.
4. Kvantování volných polí a částicová interpretace.
5. Interakce kvantovaných polí: Příklady.
6. Poruchový rozvoj S-matice.
7. Relativisticky invariantní amplituda přechodu.
8. Reprezentace amplitud přechodu pomocí Feynmanových diagramů.
9. Kvantová elektrodynamika
10. Regularizace a renormalizace.
Cíle:Znalosti:
Získat pokročilé znalosti kvantové teorie pole

Schopnosti:
Řešení typických úloh z kvantové teorie pole
Požadavky:02TEF2, 02KVAN, 02KVAN2
Rozsah práce:
Kličová slova:Kvantovaná pole, interakce kvantovaných polí, kalibrační transformace, S-matice, Feynmanovy diagramy, kvantová elektrodynamika, regularizace, renormalizace
Literatura:Povinná literatura:
[1] J. Formánek: "Úvod do relativistické kvantové mechaniky a kvantové teorie pole", Karolinum, Praha 2000

Doporučená literatura:
[2] S. Weinberg: The quantum theory of fields, Vol. 1, Cambridge University Press, Cambridge 1995

Kvantová informace a komunikace02KIK Jex 2+0 z - - 2 -
Předmět:Kvantová informace a komunikace02KIKprof. Ing. Jex Igor DrSc.2+0 Z-2-
Anotace:Kvantová teorie dala toerii informace nové impulsy. Spojením kvantové teorie a teorie informace se vytvořil nový směr kvantová teorie informace. Přednáška se orientuje na základní pojmy a postupy kvantové informace jako například kvantové algoritmy (Shorův a Groverův), kvantová korekce chyb, kvantová komunikace a kryptografie.
Osnova:1. Základy kvantové teorie
2. Provázané stavy a matice hustoty
3. Modely počítání
4. Komplexicita
5. Kvantové brány a kvantové obvody
6. Kvantová Fourierova transformace
7. Prohledávací algoritmy
8. Realizace kvantových počítačů
9. Korekce chyb
10. Kvantové operace
11. Kryptografie
12. Kvantová kryptografie
Osnova cvičení:
Cíle:Znalosti:
Naučit se základy kvantové informace a komunikace

schopnosti:
Aplikovat pojmy kvantové informace na konkrétní problémy
Požadavky:Kvantová mechanika 1, 2
Rozsah práce:
Kličová slova:Kvantová mechanika, teorie informace, kryptografie, kvantové počítání
Literatura:Povinná literatura:
[1] M. A. Nielsen, I. L. Chuang, Quantum computation and quantum informaction, Cambridge Univ. Press, 2002.

Doporučená literatura:
[2] M.Dušek, Koncepční otazky kvantové teorie, Olomouc, 2002
[3] G. Alber, Quantum Information, Springer, Berlin 2002

Nerovnovážné systémy02NSY Jex - - 2+0 z - 2
Předmět:Nerovnovážné systémy02NSYprof. Ing. Jex Igor DrSc.-2+0 Z-2
Anotace:Studium nestabilit ve fyzice umožňuje popsat a pochopit jednotícím způsobem bohatou škálů dějů a procesů v živé i neživé přírodě. Cílem přednášky je seznámit jak s matematickým popisem, tak i s jednotlivými procesy samoorganizace v neživé přírodě (laser, Gunnova dioda, chemické procesy, formace nebeských těles) i v biologii a sociologii.
Osnova:1. Matematický popis nestabilit I
2. Matematický popis nestabilit II
3. Teorie laseru a nestability I
4. Teorie laseru a nestability II
5. Samoorganizace v chemii
6. Morfogeneze
7. Dynamika sociologických systémů
8. Stochastické procesy
9. Nestability v ekonomii I
10. Nestability v ekonomii II
11. Samoorganizace v kosmologii
12. Chaotická dynamika
Osnova cvičení:
Cíle:Znalosti:
Seznámit se se základními pojmy komplexních systémů

Schopnosti:
Analyzovat základní nelineární systémy
Požadavky:teoretická fyzika, termodynamika, statistická fyzika
02TEF1, 02TEF2, 02TSFA
Rozsah práce:
Kličová slova:Otevřené systémy, nestability, synergetika
Literatura:Povinná literatura:
[1] H. Haken, Synergetics, Springer, Berlin, 1970

Doporučená literatura:
[2] W. Ebeling, R. Feistel, Physik der Selbsorganisierung, Akademie Verlag, Berlin 1986
[3] L . J. Krempaský, Synergetika, Vydavatelstvo SAV, Bratislava 1988
[4] G. Nicolis, C. Nicolis, Foundations of complex systems, World Scientific, 2007

Funkcionální analýza 301FA3 Havlíček 2+1 z,zk - - 3 -
Předmět:Funkcionální analýza 301FA3prof. Ing. Havlíček Miloslav DrSc.2+1 Z,ZK-3-
Anotace:Pokročilé partie funkcionální analýzy potřebné především pro pochopení současné moderní kvantové teorie.
Osnova:1. Omezené operátory v Hilbertových prostorech, opakování
2. Ideály kompaktních operátorů
3. Symetrické operátory, samosdružené operátory
4. Grupy unitárních operátorů, Stoneův teorém
5. Normované algebry, Banachovy algebry, C*-algebry
6. W*-algebry
Osnova cvičení:1. Opakování vlastností omezených operátorů na Hilbertových prostorech
2. Kompaktní operátory
3. Symetrické, samosdružené, uzavřené operátory, esenciální spektrum
4. Silně spojité unitární grupy operátorů a její generátory
5. Vlastnosti C*- a W*-algeber
Cíle:Znalosti:
Pokročilé partie funkcionální analýzy potřebné především pro pochopení současné moderní kvantové teorie.

Schopnosti:
Řešení pokročilých úloh s vazbou na fyzikální a technické aplikace.
Požadavky:Základní kurzy matematické analýzy a lineární algebry (dle přednášek na FJFI ČVUT v Praze 01MA1, 01MAA2-4, 01LAP, 01LAA2), základní kurz Funkcionální analýzy (dle přednášek na FJFI 01FA1, 01FA2).
Rozsah práce:
Kličová slova:Stoneův teorém, grupy unitárních operátorů, spektrum, normované algebry, Banachovy algebry, C*-algebry, W*-algebry.
Literatura:Povinná literatura:
[1] Blank, Exner, Havlíček: Lineární operátory v kvantové fyzice, Karolinum, Praha, 1993

Doporučená literatura:
[2] Taylor: Úvod do funkcionální analýzy, Academia, Praha, 1973
[3] Lukeš: Zápisky z funkcionální analýzy, Karolinum, Praha, 1998

Asymptotické metody01ASY Mikyška - - 2+1 z,zk - 3
Předmět:Asymptotické metody01ASYdoc. Ing. Mikyška Jiří Ph.D.2+1 Z,ZK-3-
Anotace:Příklady. Doplňky z analýzy (nevlastní parametrické integrály, zobecněný Lebesgueův integrál). Asymptotické relace a rozvoje - vlastnosti, algebraické a analytické operace s nimi. Aplikovaná asymptotika posloupností a řad, asymptotika integrálu Laplaceova a Fourierova typu.
Osnova:1. Landauova symbolika
2. Asymptotické posloupnosti a asymptotické rozvoje funkcí
3. Základní vlastnosti asymptotických rozvojů a algebraické operace s nimi
4. Derivování a integrování asymptotických relací
5. Asymptotika posloupností
6. Asymptotika řad
7. Asymptotika kořenů algebraických rovnic
8. Doplňky z matematické analýzy - zobecněný Lebesqueův integrál
9. Asymptotika integrálů Laplaceova typu, Laplaceova věta, Watsonovo lemma
10. Příklady, aplikace asymptotických metod
Osnova cvičení:1. Příklady asymptotických rozvojů a jejich vlastnosti
2. Základní vlastnosti asymptotických rozvojů a algebraické operace s nimi
3. Asymptotika posloupností, Stirlingova formule
4. Asymptotika řad, výpočet čísla pí.
5. Asymptotika kořenů algebraických rovnic
6. Asymptotika integrálů Laplaceova typu, aplikace Laplaceovy věty a Watsonova lemmatu
7. Příklady, aplikace asymptotických metod
Cíle:Znalosti:
Eulerova-Maclaurinova sčítací formule, perturbační metody, Laplaceova metoda, Watsonovo lemma.

Schopnosti:
Použití asymptotických metod k vyšetřování asymptotiky posloupností, řad a integrálů Laplaceova a Fourierova typu.
Požadavky:Základní kurzy matematické analýzy, (dle přednášek na FJFI ČVUT v Praze 01MA1, 01MAA2-4)
Rozsah práce:
Kličová slova:Asymptotické rozvoje, asymptotika posloupností, asymptotika řad, asymptotika kořenů algebraických rovnic, Laplaceova metoda, Watsonovo lemma, nevlastní Lebesgueův integrál.
Literatura:Povinná literatura:
[1] J. Mikyška: Asymptotické metody, skripta ČVUT, 2008.

Doporučená literatura:
[2] E. T. Copson: Asymptotic Expansions, Cambridge University Press, 1965.
[3] N. G. de Bruin: Asymptotic Methods in Analysis, North Holland Publishing Co., 1958.
[4] P. D. Miller: Applied Asymptotic Analysis, Graduate Studies in Applied Mathematics, Vol. 75, American Mathematical Society, 2006.
[5] F. J. Olver: Asymptotics and special functions, Academic press, New York (1974)

Teorie náhodných procesů01NAH Hladký, Michálek 3+0 zk - - 3 -
Předmět:Teorie náhodných procesů01NAHIng. Veverka Petr Ph.D.3+0 ZK-3-
Anotace:Obsahem předmětu jsou jednak základní pojmy z teorie náhodných procesů a jednak teorie slabě stacionárních procesů a posloupností a dále teorie silně stacionárních procesů.
Osnova:Pojem náhodného procesu, Kolmogorovova věta, vlastnosti trajektorií náhodného procesu, základy stochastické analýzy, pojem náhodné derivace a náhodného integrálu, Wienerův proces, Karhunenova věta a spektrální rozklad náhodného procesu, pojem slabé stacionarity, spektrální hustota a lineární proces, ergodické věty pro slabě stacionární procesy, otázka predikce slabě stacionárních procesů a posloupností, pojem silné stacionarity, ergodické věty pro silně stacionární procesy.
Osnova cvičení:
Cíle:Znalosti:
Základy teorie náhodných procesů, pojem náhodného integrálu, teorie slabě stacionárních a silně stacionárních procesů.

Schopnosti:
Použití především teorie slabě stacionárních posloupností a procesů pro inženýrskou praxi.
Požadavky:Základní kurzy matematické analýzy, lineární algebry, základní kurz teorie pravděpodobnosti a matematické statistiky.
Rozsah práce:
Kličová slova:Náhodný proces a náhodná posloupnost, stochastická analýza a náhodný integrál, spektrální rozklad, slabá a silná stacionarita, predikce, ergodické věty.
Literatura:Povinná literatura:
[1] J.Michálek: Základy teorie náhodných procesů. Skripta ČVUT, Praha 2000,
[2] J.Anděl: Statistická analýza časových řad, SNTL, Praha 1976

Doporučená literatura:
[3]Z.Prášková: Základy náhodných procesů II, skripta MFF UK, Praha 2004

Variační metody01VAM Beneš 2 zk - - 3 -
Předmět:Variační metody01VAMprof. Dr. Ing. Beneš Michal2 ZK-3-
Anotace:Předmět obsahuje metody klasického variačního počtu - vyšetřování extrémů funkcionálů pomocí Eulerových rovnic, vlastností druhé derivace (variace), konvexnosti nebo monotonie. Dále je věnován vyšetřování kvadratického funkcionálu, zobecněného řešení, Sobolevových prostorů a řešení variační úlohy pro eliptické parciální diferenciální rovnice.
Osnova:1. Extrém funkcionálu, Eulerovy rovnice.
2. Podmínky existence extrému.
3. Věta o minimu kvadratického funkcionálu a její důsledky.
4. Metody konstrukce minimalizujících posloupností (Galerkinova, nejmenších čtverců).
5. Otázky volby báze.
6. Sobolevovy prostory.
7. Stopy funkcí. Slabá formulace okrajových úloh.
8. V-eliptičnost. Laxova-Milgramova věta.
9. Slabá řešení Dirichletova a Neumannova problému pro eliptické rovnice.
Osnova cvičení:Cvičení je součástí výkladu a obsahuje řešení konkrétních úloh variačního počtu - např. úlohy o nejkratší spojnici, o minimální ploše, průhybu tyče, Cahnovy-Hilliardovy teorie fázových přechodů a pod.
Cíle:Znalosti:
Klasický variační počet - nutné a postačující podmínky existence extrému funkcionálu, Eulerovy rovnice, extrém kvadratického funkcionálu, zobecněné řešení operátorové rovnice, Sobolevovy prostory a slabé řešení okrajové úlohy pro eliptickou parciální diferenciální rovnici.

Schopnosti:
Nalezení a vyšetření extrému funkcionálu, řešení základních úloh variačního počtu, formulace variační úlohy a určení jejích vlastností.
Požadavky:Základní kurzy matematické analýzy, lineární algebry a numerické matematiky, funkcionální analýza (dle přednášek na FJFI ČVUT v Praze 01MA1, 01MAA2-4, 01LA1, 01LAA, 01NM, 01FA12).
Rozsah práce:
Kličová slova:Variační počet, Gâteauxova derivace, Fréchetova derivace, extrémy funkcionálů, konvexnost, monotonie, kvadratický funktcionál, Sobolevovy prostory, slabé řešení, Laxova-Milgramova věta.
Literatura:Povinná literatura:
[1] S. V. Fomin, R. A. Silverman, Calculus of variations, Courier Dover Publications, Dover 2000.
[2] K. Rektorys, Variační metody v inženýrských problémech a v problémech matematické fyziky, Academia, Praha 1999.

Doporučená literatura:
[3] M. A. Lavrentěv a L.A. Ljusternik, Kurs variačního počtu, Přírodovědecké nakladatelství, Praha 1952.
[4] I. M. Gelfand a S.V. Fomin, Variacionnoje isčislenije, GosIzdat, Moskva 1961.
[5] L. E. Elsgolc, Variační počet, SNTL, Praha 1965.
[6] B. Dacorogna, Introduction to the Calculus of Variations, Imperial College Press, London 2004.
[7] B. Van Brunt, The calculus of variations, Birkhäuser, Basel 2004.
[8] E. Giusti, Direct methods in the calculus of variations, World Scientific, Singapore 2003.

Pokročilejší partie kvantové teorie02PPKT Exner - - 2+0 zk - 2
Předmět:Pokročilejší partie kvantové teorie02PPKTprof.RNDr. Exner Pavel DrSc.-2+0 ZK-2
Anotace:Lineární operátory v Hilbertových prostorech, relace neurčitosti, kanonické komutační relace, Stoneův teorém, algebry pozorovatelných, Schrodingerovy operátory. Částečně se překrývá se semestrální přednáškou 01KF, vzájemná vazba se upravuje podle požadavků posluchačů.
Osnova:1. Hilbertovy prostory a operátory na nich.
2. Spektrální teorie samosdružených operátorů.
3. Operátorové algebry a množiny.
4.-5. Stavy a pozorovatelné. Postuláty kvantové mechaniky.
6. Souřadnice hybnosti. Weylovy relace.
7. Časový vývoj. Základní dynamický postulát.
8. Nekonečný počet stupňů volnosti.
9. Schrödingerovy operátory.
10. Teorie rozptylu.
Osnova cvičení:
Cíle:Znalosti:
Porozumění matematickým základům kvantové mechaniky

Schopnosti:
Aplikace na spektrální teorii samosdružených operátorů v kvantové mechanice
Požadavky:02KVAN, 02KVAN2
Rozsah práce:
Kličová slova:Lineární operátory v Hilbertových prostorech, relace neurčitosti, kanonické komutační realace, Stoneův teorém, algebry pozorovatelných, Schrödingerovy operátory.
Literatura:Povinná literatura:
[1] J. Blank, P. Exner, M. Havlíček: Lineární operátory v kvantové fyzice, Karolinum, Praha 1993

Doporučená literatura:
[2] J.M. Jauch: Foundations of quantum mechanics, Addison-Wesley, Reading (MA) 1968

Relativistická fyzika 102REL1 Bičák, Semerák 4+2 z,zk - - 6 -
Předmět:Relativistická fyzika 102REL1prof. RNDr. Bičák Jiří DrSc. / doc.RNDr. Semerák Oldřich Dr., DSc.4+2 Z,ZK-6-
Anotace:Tenzorová analýza. Křivost prostoročasu a Einsteinův gravitační zákon. Schwarzschildovo řešení Einsteinových rovnic. Černé díry a gravitační kolaps.
Osnova:1.-2. Tenzorová analýza - připomenutí a doplňky
3.-4. Křivost
5.-6. Einsteinův gravitační zákon
7.-8. Schwarzschildovo řešení Einsteinových rovnic
9. Analytické prodloužení Schwarzschildovy metriky
10.-11. Obecnější řešení Einsteinových rovnic popisující stacionární černé díry
12. Gravitační kolaps
Osnova cvičení:Procvičení úloh na témata:
1.-2. Tenzorová analýza - připomenutí a doplňky
3.-4. Křivost
5.-6. Einsteinův gravitační zákon
7.-8. Schwarzschildovo řešení Einsteinových rovnic
9. Analytické prodloužení Schwarzschildovy metriky
10.-11. Obecnější řešení Einsteinových rovnic popisující stacionární černé díry
12. Gravitační kolaps
Cíle:Znalosti:
Získat pokročilé znalosti obecné teorie relativity včetně základních řešení Einsteinových rovnic.

Schopnosti:
Řešení pokročilých úloh v obecné teorii relativity.
Požadavky:Předpokládá se znalost základů obecné teorie relativity na úrovni přednášky 02OR.
Rozsah práce:
Kličová slova:Tenzory, tenzor křivosti, Einsteinovy rovnice, Schwarzschildovo řešení, gravitační kolaps
Literatura:Povinná literatura:
[1] Bičák J., Ruděnko V. N.: Teorie relativity a gravitační vlny (skriptum UK, Praha 1986)
[2] Kuchař K.: Základy obecné teorie relativity (Academia, Praha 1968)

Doporučená literatura:
[3] Misner C. W., Thorne K. S., Wheeler J. A.: Gravitation (Freeman, San Francisco 1973)
[4] Weinberg S.: Gravitation and Cosmology (J. Wiley, New York 1972)

Relativistická fyzika 202REL2 Bičák, Semerák - - 4+2 z,zk - 6
Předmět:Relativistická fyzika 202REL2prof. RNDr. Bičák Jiří DrSc. / doc.RNDr. Semerák Oldřich Dr., DSc.-4+2 Z,ZK-6
Anotace:Černé díry a gravitační kolaps. Astrofyzika černých děr. Obecná relativita v dalších partiích fyziky a astrofyziky. Linearizovaná teorie gravitace, gravitační vlny.
Osnova:1. Schwarzschildovo řešení Einsteinových rovnic
2. Analytické prodloužení Schwarzschildovy metriky
3. Obecnější řešení Einsteinových rovnic popisující stacionární černé díry
4.-5. Gravitační kolaps
6.-8. Fyzika a astrofyzika černých děr
9.-10. Jiné partie fyziky v obecně relativistické formulaci
11.-12. Linearizovaná teorie gravitace, gravitační vlny
Osnova cvičení:Procvičení úloh na témata:
1. Schwarzschildovo řešení Einsteinových rovnic
2. Analytické prodloužení Schwarzschildovy metriky
3. Obecnější řešení Einsteinových rovnic popisující stacionární černé díry
4.-5. Gravitační kolaps
6.-8. Fyzika a astrofyzika černých děr
9.-10. Jiné partie fyziky v obecně relativistické formulaci
11.-12. Linearizovaná teorie gravitace, gravitační vlny
Cíle:Znalosti:
Naučit popis astrofyzikálních jevů pomocí obecné teorie relativity

Schopnosti:
Rešení jednoduchých úloh z astrofyziky.
Požadavky:Předpokládá se znalost obecné teorie relativity na úrovni přednášek 02OR a 02REL1.
Rozsah práce:
Kličová slova:Schwarzschildovo řešení, gravitační kolaps, černé díry, gravitační vlny
Literatura:Povinná literatura:
[1] Bičák J., Ruděnko V. N.: Teorie relativity a gravitační vlny (skriptum UK, Praha 1986)
[2] Kuchař K.: Základy obecné teorie relativity (Academia, Praha 1968)

Doporučená literatura:
[3] Misner C. W., Thorne K. S., Wheeler J. A.: Gravitation (Freeman, San Francisco 1973)
[4] Weinberg S.: Gravitation and Cosmology (J. Wiley, New York 1972)

Základy teorie grafů01ZTG Ambrož 4+0 zk - - 4 -
Předmět:Základy teorie grafů01ZTGIng. Ambrož Petr Ph.D.----
Anotace:Obsahem předmětu je ucelený výklad základů moderní teorie grafů, doplněný pohledem na některé aplikace vykládané teorie.
Osnova:1. Základní pojmy teorie grafů.
2. Vrcholová a hranová souvislost (Mengerova věta).
3. Bipartitní grafy.
4. Stromy a lesy, mosty.
5. Kostry (Matrix-Tree Theorem).
6. Eulerovy cykly a tahy, Hamiltonovy kružnice.
7. Maximální a perfektní párování.
8. Hranová barevnost.
9. Toky v sítích.
10. Vrcholová barevnost.
11. Planární grafy (Kuratowského věta), barevnost planárních grafů.
12. Spektrum adjacenční matice.
13. Extremální teorie grafů.
Osnova cvičení:
Cíle:
Požadavky:
Rozsah práce:
Kličová slova:
Literatura:

Kvantový kroužek 1, 202KVK12 Exner 0+2 z 0+2 z 2 2
Předmět:Kvantový kroužek 102KVK1prof.RNDr. Exner Pavel DrSc.0+2 Z-2-
Anotace:Semináře Dopplerova institutu na témata z matematické kvantové fyziky pro studenty a doktorandy.
Osnova:Semináře Dopplerova institutu na témata z matematické kvantové fyziky pro studenty a doktorandy.
Osnova cvičení:
Cíle:Znalosti:
Získat znalosti o výzkumných tématech ze současné matematické kvantové fyziky.

Schopnosti:
Získat komunikační kompetence v rámci vědecké komunity.
Požadavky:Pokročilé znalosti kvantové teorie
Rozsah práce:Prezentace samostatné práce studenta na zadaném výzkumném tématu.
Kličová slova:
Literatura:Literatura a další pomůcky jsou dány zadáním práce.

Předmět:Kvantový kroužek 202KVK2prof.RNDr. Exner Pavel DrSc.-0+2 Z-2
Anotace:Semináře Dopplerova institutu na témata z matematické kvantové fyziky pro studenty a doktorandy.
Osnova:Semináře Dopplerova institutu na témata z matematické kvantové fyziky pro studenty a doktorandy.
Osnova cvičení:
Cíle:Znalosti:
Získat znalosti o výzkumných tématech ze současné matematické kvantové fyziky.

Schopnosti:
Získat komunikační kompetence v rámci vědecké komunity.
Požadavky:Pokročilé znalosti kvantové teorie
Rozsah práce:Prezentace samostatné práce studenta na zadaném výzkumném tématu.
Kličová slova:
Literatura:Literatura a další pomůcky jsou dány zadáním práce.

Řešitelné modely matematické fyziky02RMMF Hlavatý - - 2+0 z - 2
Předmět:Řešitelné modely matematické fyziky02RMMFprof. RNDr. Hlavatý Ladislav DrSc.-2+0 Z-2
Anotace:Jsou probrány základní metody pro řešení nelineárních diferenciálních rovnic vyskytujících se v matemetické fyzice.
Osnova:1. Obyčejné diferenciální rovnice 1. a 2. řádu.
2. Autonomní systémy diferenciálních rovnic.
3. Jacobiho eliptické funkce.
4. Parciální diferenciální rovnice 1. řádu, metoda charakteristik.
5. Bäcklundovy transformace.
6. Metoda obrácené úlohy rozptylu.

Osnova cvičení:
Cíle:Znalosti:
Metody řešení diferenciálních rovnic vyskytujících se v matematické fyzice.

Schopnosti:
Získat praxi v řešení diferenciálních rovnic vyskytujících se v matematické fyzice.
Požadavky:
Rozsah práce:
Kličová slova:Diferenciální rovnice, solitony, metoda charakteristik, Backlundova transformace.
Literatura:Povinná literatura:
[1] Kurzweil, Obyčejné diferenciální rovnice, Academia 1975

Doporučená literatura:
[2] I.G. Petrovskij, Parciální diferenciální rovnice, Mir, 1981.



Úvod do strun 1, 202UST12 Hlavatý 2+1 z 2+1 z 3 3
Předmět:Úvod do strun 102UST1prof. RNDr. Hlavatý Ladislav DrSc.2+1 Z-3-
Anotace:Cílem přednášky je seznámit se se základy teorie (super)strun.
Osnova:1. Relativistický hmotný bod
2. Relativistická struna
3. Hraniční podmínky
4. Invariance pohybových rovnic a kalibrační podmínky
5. Kvantování relativistického hmotného bodu
6. Kvantování relativistické struny
Osnova cvičení:klasická otevřená a uzavřená struna
statická kalibrace
kalibrace světelného kužele
Cíle:Znalosti:
Seznámit se s teorií strun.

Schopnosti:
Řešit elementární problémy teorie strun.
Požadavky:znalost speciální teorie relativity
Rozsah práce:
Kličová slova:Relativistický hmotný bod, relativistická struna, kvantování,
Literatura:Doporučená literatura:

[1] Barton Zwiebach, A First Course in String Theory,Cambridge University Press 2004

Předmět:Úvod do strun 202UST2prof. RNDr. Hlavatý Ladislav DrSc.-2+1 Z-3
Anotace:Přednáška je pokračováním UST1 a rozvíjí metody kvantováni (super)strun a jejich důsledky.
Osnova:1. Virasorova algebra
2. Stavy relativistické struny
3. Relativistická invariance
Osnova cvičení:Lorenztova algebra
Stavový prostor kvantované struny
Spektrum kvantované struny
Cíle:Znalosti:
Základy teorie strun.

Schopnosti:
Řešit elementární problémy teorie strun.
Požadavky:02UST1
Rozsah práce:
Kličová slova:Virasorova algebra, Lorentzovská invariance
Literatura:Doporučená literatura:

[1] Barton Zwiebach, A First Course in String Theory,Cambridge University Press 2004

Otevřené kvantové systémy02OKS Novotný - - 2+0 z - 2
Předmět:Otevřené kvantové systémy02OKSIng. Novotný Jaroslav Ph.D.----
Anotace:Kvantový popis složených systémů a jejich podsystémů, operátor hustoty. Čisté a smíšené stavy, entropie. Kvantové korelace, provázání, jeho základní vlastnosti a aplikace. Základy teorie zobecněného měření, pozitivní operátorová míra, fyzikální realizace. Kvantové operace, obecný popis změny kvantového stavu, superoperátorový formalismus, základní aplikace. Kvantová řídící rovnice pro markovovské procesy, kvantové dynamické semigrupy. Jednoduché modely pro popis dekoherence a termalizace.
Osnova:[1] Popis složených kvantových systémů
[2] Entropie a kvantové korelace
[3-4] Zobecněná kvantová měření
[5-7] Kvantové operace
[9-10] Kvantová řídící rovnice
[11] Dekoherence
[12] Termalizace
Osnova cvičení:
Cíle:Znalosti:
Seznámit se s popisem chování otevřených kvantových systémů.
Schopnosti:
Aplikace teorie na konkrétní fyzikální problémy.
Požadavky:Znalosti základního kurzu kvantové mechaniky.
Rozsah práce:
Kličová slova:
Literatura:Základní literatura:
H.-P. Breuer and F. Petruccione, The theory of open quantum systems, Oxford Univ. Press, 2002

Doporučená literatura:
M. A. Nielsen, I. L. Chuang, Quantum computation and quantum information, Cambridge Univ. Press, 2002
I. Bengtsson, K. Zyczkowski, Geometry of Quantum States, Cambridge Univ. Press, 2006
R. Alicki, K. Lendi, Quantum Dynamical Semigroups and Applications (Springer-Verlag, Berlin, 1987)