Studijní plány a sylaby FJFI ČVUT v Praze

-

Aktualizace dat: 15.10.2017

english

Navazující magisterské studiumMatematická fyzika
2. ročník
předmět kód vyučující zs ls zs kr. ls kr.

Povinné předměty

Kohomologické metody v teoretické fyzice02KOHOM Tolar 2 zk - - 5 -
Předmět:Kohomologické metody v teoretické fyzice02KOHOMprof. Ing. Tolar Jiří DrSc.----
Anotace:Singulární homologie, de Rhamova kohomologie (kvantová mechanika na varietách). Čechova kohomologie (kalibrační teorie). Chevalleyova kohomologie (projektivní representace, deformace Lieových algeber).
Osnova:1. Singulární homologie.
2. De Rhamova kohomologie.
3. Kvantová mechanika na varietách.
4. Čechova kohomologie.
5.-6. Kalibrační pole.
7. Kohomologie Lieových algeber.
8.-9. Projektivní reprezentace v kvantové teorii.
10. Deformace asociativních algeber.
11. Deformace Lieových algeber.
12. Kvantování jako deformace klasické mechaniky.
Osnova cvičení:Cvičení je nedílnou součástí výuky a zahrnuje konkrétní příklady použití kohomologických metod.
Cíle:Znalosti:
Studenti se seznámí různé typy kohomologií v matematické fyzice a jejich vztahem k Lieovým algebrám.

Schopnosti:
Studenti jsou schopni používat kohomologické metody v teoretické fyzice.
Požadavky:02GMF1, 02GMF2
Rozsah práce:
Kličová slova:
Literatura:Povinná literatura:
[1] B.R. Pollard: An Introduction to Algebraic Topology, Bristol University, 1979

Doporučená literatura:
[2] C. Nash: Topology and physics - a historical essay, arXiv: hep-th/9709135

Vybrané partie ze statistické fyziky a termodynamiky02VPSF Jex 2+2 z,zk - - 7 -
Předmět:Vybrané partie ze statistické fyziky a termodynamiky02VPSFprof. Ing. Jex Igor DrSc.2+2 Z,ZK-7-
Anotace:Předmět navazuje na přednášku Termodynamika a statistická fyzika. Prohlubuje poznatky z některých důležitých partií statistické fyziky jako například pojem matice hustoty a práce s ní, vlastnosti neideálních plynů, mikroskopický popis fázových přechodů, základní vlastnosti degenerovaného Fermiho plynu.
Osnova:1. Základní poznatky fenomenologické termodynamiky
2. Základy statistické fyziky
3. Statistický operátor
4. Neideální plyny I
5. Neideální plyny II
6. Fermiho plyn I
7. Fermiho plyn II
8. Fluktuace fyzikálních veličin
9. Mikroskopické modely a fázové přechody
10. Isingův model
11. Základy kinetické teorie
12. Transportní jevy
Osnova cvičení:Procvičit řešení problémů na témata
1. Základní poznatky fenomenologické termodynamiky
2. Základy statistické fyziky
3. Statistický operátor
4. Neideální plyny I
5. Neideální plyny II
6. Fermiho plyn I
7. Fermiho plyn II
8. Fluktuace fyzikálních veličin
9. Mikroskopické modely a fázové přechody
10. Isingův model
11. Základy kinetické teorie
12. Transportní jevy
Cíle:Znalosti:
Rozšířit poznatky získané v předmětu TSFA.

Schopnosti:
Řešit náročnější úlohy statistické fyziky a termodynamiky.
Požadavky:znalosti z teoretické fyziky, termodynamiky a statistické fyziky
02TER, 02TEF1, 02TEF2, 02TSFA
Rozsah práce:
Kličová slova:Statistická entropie, statistické soubory, transportní rovnice, fluktuace
Literatura:Povinná literatura:
[1] R. Balian, From microphysics to macrophysics, Springer, New York, 1991

Doporučená literatura:
[2] J. Kvasnica, Termodynamika, SNTL Praha, 1965
[3] J. Kvasnica, Statistická fyzika, Academia Praha, 2003

Diplomová práce 1, 202DPMF12 Hlavatý, Tolar 0+10 z 0+20 z 10 20
Předmět:Diplomová práce 102DPMF1prof. RNDr. Hlavatý Ladislav DrSc. / prof. Ing. Tolar Jiří DrSc.----
Anotace:Student na základě zadání práce a pod vedením školitele zpracovává individuálně zadané téma po dobu 2 semestrů.
Osnova:Student na základě zadání práce a pod vedením školitele zpracovává individuálně zadané téma po dobu 2 semestrů.
Osnova cvičení:
Cíle:Znalosti:
Individuální tématika podle zadání práce.

Schopnosti:
Samostatná práce na zadaném úkolu, orientace v dané problematice, sestavení vlastního odborného textu.
Požadavky:
Rozsah práce:Předmět je dán samostatnou činností studenta na zadaném tématu. Práce jsou průběžně kontrolovány školitelem a příslušnou katedrou
Kličová slova:
Literatura:Literatura a další pomůcky jsou dány zadáním práce.

Předmět:Diplomová práce 202DPMF2prof. RNDr. Hlavatý Ladislav DrSc. / prof. Ing. Tolar Jiří DrSc.----
Anotace:Student na základě zadání práce a pod vedením školitele zpracovává individuálně zadané téma po dobu 2 semestrů.
Osnova:Student na základě zadání práce a pod vedením školitele zpracovává individuálně zadané téma po dobu 2 semestrů.
Osnova cvičení:
Cíle:Znalosti:
Individuální tématika podle zadání práce.

Schopnosti:
Samostatná práce na zadaném úkolu, orientace v dané problematice, sestavení vlastního odborného textu.
Požadavky:
Rozsah práce:Předmět je dán samostatnou činností studenta na zadaném tématu. Práce jsou průběžně kontrolovány školitelem a příslušnou katedrou
Kličová slova:
Literatura:Povinná literatura: pomůcky jsou dány zadáním práce.

Volitelné předměty

Relativistická fyzika 102REL1 Bičák, Semerák 4+2 z,zk - - 6 -
Předmět:Relativistická fyzika 102REL1prof. RNDr. Bičák Jiří DrSc. / doc.RNDr. Semerák Oldřich Dr., DSc.4+2 Z,ZK-6-
Anotace:Tenzorová analýza. Křivost prostoročasu a Einsteinův gravitační zákon. Schwarzschildovo řešení Einsteinových rovnic. Černé díry a gravitační kolaps.
Osnova:1.-2. Tenzorová analýza - připomenutí a doplňky
3.-4. Křivost
5.-6. Einsteinův gravitační zákon
7.-8. Schwarzschildovo řešení Einsteinových rovnic
9. Analytické prodloužení Schwarzschildovy metriky
10.-11. Obecnější řešení Einsteinových rovnic popisující stacionární černé díry
12. Gravitační kolaps
Osnova cvičení:Procvičení úloh na témata:
1.-2. Tenzorová analýza - připomenutí a doplňky
3.-4. Křivost
5.-6. Einsteinův gravitační zákon
7.-8. Schwarzschildovo řešení Einsteinových rovnic
9. Analytické prodloužení Schwarzschildovy metriky
10.-11. Obecnější řešení Einsteinových rovnic popisující stacionární černé díry
12. Gravitační kolaps
Cíle:Znalosti:
Získat pokročilé znalosti obecné teorie relativity včetně základních řešení Einsteinových rovnic.

Schopnosti:
Řešení pokročilých úloh v obecné teorii relativity.
Požadavky:Předpokládá se znalost základů obecné teorie relativity na úrovni přednášky 02OR.
Rozsah práce:
Kličová slova:Tenzory, tenzor křivosti, Einsteinovy rovnice, Schwarzschildovo řešení, gravitační kolaps
Literatura:Povinná literatura:
[1] Bičák J., Ruděnko V. N.: Teorie relativity a gravitační vlny (skriptum UK, Praha 1986)
[2] Kuchař K.: Základy obecné teorie relativity (Academia, Praha 1968)

Doporučená literatura:
[3] Misner C. W., Thorne K. S., Wheeler J. A.: Gravitation (Freeman, San Francisco 1973)
[4] Weinberg S.: Gravitation and Cosmology (J. Wiley, New York 1972)

Relativistická fyzika 202REL2 Bičák, Semerák - - 4+2 z,zk - 6
Předmět:Relativistická fyzika 202REL2prof. RNDr. Bičák Jiří DrSc. / doc.RNDr. Semerák Oldřich Dr., DSc.-4+2 Z,ZK-6
Anotace:Černé díry a gravitační kolaps. Astrofyzika černých děr. Obecná relativita v dalších partiích fyziky a astrofyziky. Linearizovaná teorie gravitace, gravitační vlny.
Osnova:1. Schwarzschildovo řešení Einsteinových rovnic
2. Analytické prodloužení Schwarzschildovy metriky
3. Obecnější řešení Einsteinových rovnic popisující stacionární černé díry
4.-5. Gravitační kolaps
6.-8. Fyzika a astrofyzika černých děr
9.-10. Jiné partie fyziky v obecně relativistické formulaci
11.-12. Linearizovaná teorie gravitace, gravitační vlny
Osnova cvičení:Procvičení úloh na témata:
1. Schwarzschildovo řešení Einsteinových rovnic
2. Analytické prodloužení Schwarzschildovy metriky
3. Obecnější řešení Einsteinových rovnic popisující stacionární černé díry
4.-5. Gravitační kolaps
6.-8. Fyzika a astrofyzika černých děr
9.-10. Jiné partie fyziky v obecně relativistické formulaci
11.-12. Linearizovaná teorie gravitace, gravitační vlny
Cíle:Znalosti:
Naučit popis astrofyzikálních jevů pomocí obecné teorie relativity

Schopnosti:
Rešení jednoduchých úloh z astrofyziky.
Požadavky:Předpokládá se znalost obecné teorie relativity na úrovni přednášek 02OR a 02REL1.
Rozsah práce:
Kličová slova:Schwarzschildovo řešení, gravitační kolaps, černé díry, gravitační vlny
Literatura:Povinná literatura:
[1] Bičák J., Ruděnko V. N.: Teorie relativity a gravitační vlny (skriptum UK, Praha 1986)
[2] Kuchař K.: Základy obecné teorie relativity (Academia, Praha 1968)

Doporučená literatura:
[3] Misner C. W., Thorne K. S., Wheeler J. A.: Gravitation (Freeman, San Francisco 1973)
[4] Weinberg S.: Gravitation and Cosmology (J. Wiley, New York 1972)

Kvantová informace a komunikace02KIK Jex 2+0 z - - 2 -
Předmět:Kvantová informace a komunikace02KIKprof. Ing. Jex Igor DrSc.2+0 Z-2-
Anotace:Kvantová teorie dala toerii informace nové impulsy. Spojením kvantové teorie a teorie informace se vytvořil nový směr kvantová teorie informace. Přednáška se orientuje na základní pojmy a postupy kvantové informace jako například kvantové algoritmy (Shorův a Groverův), kvantová korekce chyb, kvantová komunikace a kryptografie.
Osnova:1. Základy kvantové teorie
2. Provázané stavy a matice hustoty
3. Modely počítání
4. Komplexicita
5. Kvantové brány a kvantové obvody
6. Kvantová Fourierova transformace
7. Prohledávací algoritmy
8. Realizace kvantových počítačů
9. Korekce chyb
10. Kvantové operace
11. Kryptografie
12. Kvantová kryptografie
Osnova cvičení:
Cíle:Znalosti:
Naučit se základy kvantové informace a komunikace

schopnosti:
Aplikovat pojmy kvantové informace na konkrétní problémy
Požadavky:Kvantová mechanika 1, 2
Rozsah práce:
Kličová slova:Kvantová mechanika, teorie informace, kryptografie, kvantové počítání
Literatura:Povinná literatura:
[1] M. A. Nielsen, I. L. Chuang, Quantum computation and quantum informaction, Cambridge Univ. Press, 2002.

Doporučená literatura:
[2] M.Dušek, Koncepční otazky kvantové teorie, Olomouc, 2002
[3] G. Alber, Quantum Information, Springer, Berlin 2002

Kvantové grupy 101KVGR1 Burdík 2+0 z - - 2 -
Předmět:Kvantové grupy 101KVGR1prof. RNDr. Burdík Čestmír DrSc.2+0 Z-2-
Anotace:Kvantové algebry vznikly v 80-letech v pracích prof. L. D. Faddeeva a jeho Leningradské školy zabývající se integrabilními modely. Mají řadu aplikací v matematice a matematické fyzice jako např. při klasifikaci uzlů , v teorii integrabilních systémů a teorii strun.
Osnova:1. Motivace, koalgebra, bialgebra a Hopfova algebra.
2. Q-kalkul.
3. Kvantová algebra U_q (sl (2) a její reprezentace .
4. Kvantové grupa SL_q (2) a její reprezentace.
5. Q-oscilátorové algebry a jejich reprezentace.
6. Drinfeld-Jimbovy algebry.
7. Konečný-dimenzionální reprezentace Drinfeld-Jimbových algeber.
8. Quasitriangularita a univerzální R-matice.
Osnova cvičení:
Cíle:Znalosti:
Získat matematický základ teorie kvantových grup.

Schopnosti:
Umět používat teorii kvantových grup pro studium integrabilních systémů.
Požadavky:Základní kurzy matematické analýzy a lineární algebry
(dle přednášek na FJFI ČVUT v Praze 01MA1, 01MAA2-4, 01LAP, 01LAA2, TRLA).
Rozsah práce:
Kličová slova:Hopf algebra, q-calculus, Drinfeld double, quasitriangularita, universální R-matice.
Literatura:Povinná literatura:
[1] Anatoli Klimyk, Konrad Schmudgen , Quantum groups and their representations.Springer-Verlag-Berlin 1997

Doporučená literatura:
[2] Podles, P.; Muller,E., Introduction to quantum groups, arXiv:q-alg/9704002.
[3] Kassel, Christian (1995), Quantum groups, Graduate Texts in Mathematics,155, Berlin, New York: Springer-Verlag, MR1321145, ISBN 978-0-387-94370-1

Matematické modelování nelineárních systémů01MMNS Beneš 2 zk - - 3 -
Předmět:Matematické modelování nelineárních systémů01MMNSprof. Dr. Ing. Beneš Michal2 ZK-3-
Anotace:Předmět zahrnuje základní pojmy a poznatky teorie dynamických systémů konečné a nekonečné dimenze generovaných evolučními diferenciálními rovnicemi, charakteristiku bifurkací a chaosu. Druhá část je věnována výkladu základních pojmů fraktální geometrie zkoumající atraktory těchto dynamických systémů.
Osnova:I. Úvodní poznámky
II. Dynamické systémy a chaos
1. Základní pojmy a tvrzení
2. Konečněrozměrné dynamické systémy a geometrická teorie obyčejných diferenciálních rovnic
3. Nekonečněrozměrné dynamické systémy a geometrická teorie parciálních diferenciálních rovnic
4. Bifurkace a chaos; prostředky k jejich vyšetřování
III. Matematické základy fraktální geometrie
1. Motivační příklady a vztah k dynamickým systémům
2. Topologická dimenze
3. Obecná teorie míry
4. Hausdorffova dimenze
5. Pokusy o definici geometricky složité množiny
6. Iterační systémy funkcí
IV. Závěr - použití pro matematické modelování
Osnova cvičení:Cvičení je součástí výkladu a obsahuje řešení konkrétních příkladů z geometrické teorie diferenciálních rovnic, metody linearizace, Ljapunovovy funkce, bifurkací a fraktálních množin.
Cíle:Znalosti:
Deterministické dynamické systémy, popis chaotického stavu, geometrická teorie obyčejných a parciálních diferenciálních rovnic, teoretické základy fraktální geometrie.

Schopnosti:
Použití metody linearizace a metody Ljapunovovy funkce ke stanovení stability pevného bodu, bifurkační analýza, stanovení stability periodické trajektorie, charakteristika fraktálních množin a měření jejich dimenze.
Požadavky:Základní kurzy matematické analýzy, lineární algebry a obyčejných diferenciálních rovnic, funkcionální analýza, variační metody (dle přednášek na FJFI ČVUT v Praze 01MA1, 01MAA2-4, 01LA1, 01LAA2, DIFR, nebo 01MA1, 01MAB2-4, 01LA1, 01LAB2, FA1, VAME).
Rozsah práce:Individuální činnost studentů je dána prací na zvoleném obtížnějším příkladu analýzy konkrétního dynamického systému. Tyto schopnosti jsou při odevzdání řešení tohoto úkolu do data zkoušky.
Kličová slova:Evoluční diferenciální rovnice, dynamický systém, atraktor, bifurkace a chaos, topologická a Hausdorffova dimenze, iterační soubory funkcí.
Literatura:Povinná literatura:
[1] F.Verhulst, Nonlinear Differential Equations and Dynamical Systems, Springer-Verlag, Berlin 1990
[2] M.Holodniok, A.Klíč, M.Kubíček, M.Marek, Metody analýzy nelineárních dynamických modelů, Academia, Praha 1986
[3] G.Edgar, Measure, Topology and Fractal Geometry, Springer Verlag, Berlin 1989

Doporučená literatura:
[4] D.Henry, Geometric Theory of Semilinear Parabolic Equations, Springer Verlag, Berlin 1981
[5] R.Temam, Infinite Dimensional Dynamical Systems in Mechanics and Physics, Springer Verlag, Berlin 1988

Studijní pomůcky:
Webová prezentace předmětu s vybranými motivačními příklady.

Kvantový kroužek 1, 202KVK12 Exner 0+2 z 0+2 z 2 2
Předmět:Kvantový kroužek 102KVK1prof.RNDr. Exner Pavel DrSc.0+2 Z-2-
Anotace:Semináře Dopplerova institutu na témata z matematické kvantové fyziky pro studenty a doktorandy.
Osnova:Semináře Dopplerova institutu na témata z matematické kvantové fyziky pro studenty a doktorandy.
Osnova cvičení:
Cíle:Znalosti:
Získat znalosti o výzkumných tématech ze současné matematické kvantové fyziky.

Schopnosti:
Získat komunikační kompetence v rámci vědecké komunity.
Požadavky:Pokročilé znalosti kvantové teorie
Rozsah práce:Prezentace samostatné práce studenta na zadaném výzkumném tématu.
Kličová slova:
Literatura:Literatura a další pomůcky jsou dány zadáním práce.

Předmět:Kvantový kroužek 202KVK2prof.RNDr. Exner Pavel DrSc.-0+2 Z-2
Anotace:Semináře Dopplerova institutu na témata z matematické kvantové fyziky pro studenty a doktorandy.
Osnova:Semináře Dopplerova institutu na témata z matematické kvantové fyziky pro studenty a doktorandy.
Osnova cvičení:
Cíle:Znalosti:
Získat znalosti o výzkumných tématech ze současné matematické kvantové fyziky.

Schopnosti:
Získat komunikační kompetence v rámci vědecké komunity.
Požadavky:Pokročilé znalosti kvantové teorie
Rozsah práce:Prezentace samostatné práce studenta na zadaném výzkumném tématu.
Kličová slova:
Literatura:Literatura a další pomůcky jsou dány zadáním práce.

Základy teorie grafů01ZTG Ambrož 4+0 zk - - 4 -
Předmět:Základy teorie grafů01ZTGIng. Ambrož Petr Ph.D. / prof. Ing. Pelantová Edita CSc.----
Anotace:Obsahem předmětu je ucelený výklad základů moderní teorie grafů, doplněný pohledem na některé aplikace vykládané teorie.
Osnova:1. Základní pojmy teorie grafů.
2. Vrcholová a hranová souvislost (Mengerova věta).
3. Bipartitní grafy.
4. Stromy a lesy, mosty.
5. Kostry (Matrix-Tree Theorem).
6. Eulerovy cykly a tahy, Hamiltonovy kružnice.
7. Maximální a perfektní párování.
8. Hranová barevnost.
9. Toky v sítích.
10. Vrcholová barevnost.
11. Planární grafy (Kuratowského věta), barevnost planárních grafů.
12. Spektrum adjacenční matice.
13. Extremální teorie grafů.
Osnova cvičení:
Cíle:
Požadavky:
Rozsah práce:
Kličová slova:
Literatura:

Řešitelné modely matematické fyziky02RMMF Hlavatý - - 2+0 z - 2
Předmět:Řešitelné modely matematické fyziky02RMMFprof. RNDr. Hlavatý Ladislav DrSc.-2+0 Z-2
Anotace:Jsou probrány základní metody pro řešení nelineárních diferenciálních rovnic vyskytujících se v matemetické fyzice.
Osnova:1. Obyčejné diferenciální rovnice 1. a 2. řádu.
2. Autonomní systémy diferenciálních rovnic.
3. Jacobiho eliptické funkce.
4. Parciální diferenciální rovnice 1. řádu, metoda charakteristik.
5. Bäcklundovy transformace.
6. Metoda obrácené úlohy rozptylu.

Osnova cvičení:
Cíle:Znalosti:
Metody řešení diferenciálních rovnic vyskytujících se v matematické fyzice.

Schopnosti:
Získat praxi v řešení diferenciálních rovnic vyskytujících se v matematické fyzice.
Požadavky:
Rozsah práce:
Kličová slova:Diferenciální rovnice, solitony, metoda charakteristik, Backlundova transformace.
Literatura:Povinná literatura:
[1] Kurzweil, Obyčejné diferenciální rovnice, Academia 1975

Doporučená literatura:
[2] I.G. Petrovskij, Parciální diferenciální rovnice, Mir, 1981.



Úvod do strun 1, 202UST12 Hlavatý 2+1 z 2+1 z 3 3
Předmět:Úvod do strun 102UST1prof. RNDr. Hlavatý Ladislav DrSc.2+1 Z-3-
Anotace:Cílem přednášky je seznámit se se základy teorie (super)strun.
Osnova:1. Relativistický hmotný bod
2. Relativistická struna
3. Hraniční podmínky
4. Invariance pohybových rovnic a kalibrační podmínky
5. Kvantování relativistického hmotného bodu
6. Kvantování relativistické struny
Osnova cvičení:klasická otevřená a uzavřená struna
statická kalibrace
kalibrace světelného kužele
Cíle:Znalosti:
Seznámit se s teorií strun.

Schopnosti:
Řešit elementární problémy teorie strun.
Požadavky:znalost speciální teorie relativity
Rozsah práce:
Kličová slova:Relativistický hmotný bod, relativistická struna, kvantování,
Literatura:Doporučená literatura:

[1] Barton Zwiebach, A First Course in String Theory,Cambridge University Press 2004

Předmět:Úvod do strun 202UST2prof. RNDr. Hlavatý Ladislav DrSc.-2+1 Z-3
Anotace:Přednáška je pokračováním UST1 a rozvíjí metody kvantováni (super)strun a jejich důsledky.
Osnova:1. Virasorova algebra
2. Stavy relativistické struny
3. Relativistická invariance
Osnova cvičení:Lorenztova algebra
Stavový prostor kvantované struny
Spektrum kvantované struny
Cíle:Znalosti:
Základy teorie strun.

Schopnosti:
Řešit elementární problémy teorie strun.
Požadavky:02UST1
Rozsah práce:
Kličová slova:Virasorova algebra, Lorentzovská invariance
Literatura:Doporučená literatura:

[1] Barton Zwiebach, A First Course in String Theory,Cambridge University Press 2004

Geometrické aspekty spektrální teorie02SPEC Krejčiřík - - 2+0 zk - 2
Předmět:Geometrické aspekty spektrální teorie02SPECMgr. Krejčiřík David DSc.----
Anotace:Spektrální teorie nachází uplatnění v mnoha oblastech fyziky a matematiky. Její atraktivnost spočívá mimo jiné v tom, že poskytuje sjednocující aparát pro studium problémů v rozličných odvětvích matematiky, jako například parciální diferenciální rovnice, variační počet, geometrie, stochastická analýza, atd.
Cílem přednášky je seznámit studenty se spektrálními metodami v teorii lineárních diferenciálních operátorů pocházejících jak z klasické, tak moderní fyziky, se speciálním důrazem na geometrií indukované spektrální vlastnosti. Podáme přehled klasických výsledků, jakož I současných trendů v teorii, a naší snahou bude vždy poskytnout fyzikální interpretaci matematických teorémů.
Osnova:
1. Motivace. Krize klasické fyziky a nástup kvantové mechaniky. Matematická formulace kvantové teorie. Spektrální problémy v klasické fyzice.
2. Elementy funkcionální analýzy. Diskrétní a esenciální spektra. Sobolevovy prostory. Kvadratické formy. Schrödingerovy operátory.
3. Stabilita esenciálního spektra. Weylův teorém.
4. Role dimenze euklidovského prostoru. Kritikalita versus subkritikalita. Hardyho nerovnost. Stabilita hmoty.
5. Vázané stavy. Variační a poruchové metody.
6. Analytická versus asymptotická poruchová teorie. Birman-Schwingerova analýza. Asymptotické formulky pro slabě vázané vlastní hodnoty.
7. Semiklasická limita. Silně vázané vlastní stavy. Weylovy asymptotiky. Lieb-Thirringovy nerovnosti.
8. Povaha esenciálního spektra. Absolutně a singulárně spojitá spektra, vnořené vlastní hodnoty. Princip limitní absorpce.
9. Komutátorové metody a Mourrova teorie.
10. Geometrické aspekty. Glazmanova klasifikace euklidovských oblastí a jejich základní spektrální vlastnosti.
11. Vibrační systémy. Symetrické přerovnání a Faber-Krahnova nerovnost pro základní frekvenci.
12. Kvantové vlnovody. Elementy diferenciální geometrie: křivky, plochy, variety. Efektivní dynamika.
13. Geometrií indukované vázané stavy a Hardyho nerovnosti v trubicích.

Osnova cvičení:
Cíle:Znalosti:
Získání znalostí o moderní spektrální teorii.
Schopnosti:
Zvládnout řešení pokročiýché metod spektrální teorie operátorů.
Požadavky:Rovnice matematické fyziky, funkcionální analýza.
Rozsah práce:
Kličová slova:
Literatura:Povinná literatura:


[1] B. Davies, Spectral theory and differential operators, Cambridge University Press, 1995.

[2] A. Henrot, Extremum problems for eigenvalues of elliptic operators, Frontiers in Mathematics, Birkhäuser, Basel, 2006.

[3] M. Reed and B. Simon, Methods of modern mathematical physics, I?IV, Academic Press, New York, 1972?1978.


Doporučená literatura:


[1] W. O. Amrein, A. Boutet de Monvel and V. Georgescu, C0 -groups, commutator methods and spectral theory of N-body Hamiltonians, Progress in Math. Ser., vol. 135, Birkhäuser, 1996.

[2] D. E. Edmunds and W. D. Evans, Spectral theory and differential operators, Oxford University Press, 1987.

[3] L. C. Evans, Partial Differential Equations, Amer. Math. Soc., 2010.

[4] Some of the recent papers of the lecturer (available on his homepage too).


Coxeterovy grupy02COX Hrivnák 2+0 z - - 2 -
Předmět:Coxeterovy grupy02COXIng. Hrivnák Jiří Ph.D.----
Anotace:Předmět slouží jako úvod do teorie Coxeterových grup a teorie jejich invariantů. Jsou rozebrány případy konečných Coxeterových grup - grupy zrcadlení a jejich vlastnosti. Jsou zavedeny pojmy Weylova komora a funkce délky. Obecná teorie Coxeterových grup, příslušných bilineárních forem a teorie jejich klasifikace představují abstraktní zobecnění grup zrcadlení. Studium afinních Weylových grup a souvisejících pojmů představuje základní příklad nekonečných Coxeterových grup. Jako úvod do teorie invariantů jsou demonstrovány MacDonaldova a Weylova identita.
Osnova:1. Zrcadlení a grupy zrcadlení
2. Kořenové systémy, krystalografické kořenové systémy
3. Weylovy komory a fundamentální systémy
4. Funkce délky a nadroviny zrcadlení
5. Parabolické podgrupy a stabilizéry
6. Coxeterovy grupy and Coxeterovy systémy
7. Bilineární formy Coxeterových systémů
8. Klasifikace Coxeterových systémů a grup zrcadlení
9. Weylovy grupy, kořenové mříže, fundamentální váhy a váhová mříž
10. Klasifikace krystalografických kořenových systémů
11. Afinní Weylovy grupy, afinní kořenové systémy, fundamentální domény
12. Borel-de Siebenthalův teorém
13. MacDonaldova identita, Weylova identita
Osnova cvičení:
Cíle:Znalosti:
Základy teorie Coxeterových grup a jejich invariantů.

Schopnosti:
Schopnost orientace v současné související matematické problematice a literatuře, schopnost pochopit a vyhodnotit abstraktní materiál, analytický přístup k problémům
Požadavky:Znalosti na úrovni kurzu lineární algebry a geometrie, základy teorie grup.
Rozsah práce:
Kličová slova:
Literatura:Povinná literatura:
[1] R.Kane, Reflection Groups and Invariant Theory , CMS books in Mathematics, Springer, 2001

Doporučená literatura:
[2] J. E. Humphreys, Reflection groups and Coxeter groups, Cambridge Advanced Studies in Mathematics, no. 29, Cambridge University Press, Cambridge, 1990.
[3] C. T. Benson, L. C. Grove, Finite Reflection Groups , Second Edition, Springer, 2010;