Matematické zajímavosti

Seznamte se několika zajímavými souvislostmi matematiky a jejím použitím.

Teorie grafů

Známa je tato neřešitelná úloha: postavit 3 domky a 3 obchody tak, aby bylo možné spojit každý domek s každým obchodem chodníkem bez toho, aby se chodníky protínaly. Jakkoliv se budete snažit, poslední, devátý chodník se nepodaří vést bez zkřížení s některým z předchozích osmi. V teorii grafů, kde graf je tvořen množinou vrcholů spolu se seznamem hran, t.j. dvojic vrcholů, které mají být spojeny, se podobným úlohám říká rovinné kreslení grafu. Graf, který lze namalovat do roviny, aniž by se jeho hrany protínaly, se nazývá planární. Tři obchody a 3 domky představují graf označovaný jako K(3,3), který není planární. Graf se čtyřmi vrcholy, kde každá dvojice vrcholů je spojena hranou, planární je, neboť jej lze nakreslit takto:

Ale už pět vrcholů, každý s každým spojený hranou, není planární.

Tento graf označujeme symbolem K(5). Slavná Kuratowského věta říká, že jakmile graf neobsahuje obrázky typu K(3,3) ani K(5), lze jej namalovat do roviny bez křížení hran.

Když se rozhodneme malovat grafy na jiné plochy, otevřou se nám neočekávaně další možnosti. Graf K(5) například půjde namalovat na povrch toru (název geometrického tvaru, který má třeba duše v pneumatice) a K(3,3) na tzv. Möbiův pás.

Geometrie a kopaná

Asi málokdo z nás si při sledování napínavého fotbalového zápasu, či dokonce při aktivní účasti na této nejoblíbenější sportovní hře uvědomí, že onen kulatý nesmysl, za kterým se hráči tolik honí, je dokonalým výtvorem geometrie. Kdybychom se pokusili fotbalový míč ušít, narazili bychom na zásadní problém. Jak se přiblížit ke kulovému povrchu pomocí pokud možno pravidelných kousků látky nebo kůže? Tento problém však je geometrií dávno vyřešen a odpověď zní: použijte pravidelné šestiúhelníky a pětiúhelníky se stejnou délkou hrany. Vhodnou kombinací pak dostaneme přesně to, co tvoří povrch míče na obrázku.

Obdobný útvar je znám z výzkumů složitějších uhlovodíkových chemických sloučenin. Za jeho objevení byla dokonce udělena Nobelova cena za chemii.

Do nedávna byly známy pouze dvě stabilní konfigurace uhlíku - diamant a grafit (tuha). Před několika lety však byla objevena molekula C60, pojmenovaná po architektu Buckminsteru Fullerovi fulleren. Tato molekula má tvar fotbalového míče. Každý atom v molekule je svázán se třemi sousedy. Geometrická konstrukce tohoto útvaru využívá pravidelného dvacetistěnu, jež má 12 vrcholů a jeho stěny jsou tvořeny rovnostrannými trojúhelníky. Vhodnými pravidelně volenými řezy jeho vrcholy odstraníme a získáme tak útvar, jehož hranice je tvořená 12 pravidelnými pětiúhelníky a 20 pravidelnými šestiúhelníky - tedy hledaný fotbalový míč.

Hlemýžď, matematika a umění

Jednou ze zajímavých křivek je bezesporu tzv. logaritmická spirála, tedy množina bodů, jejichž vzdálenost od počátku narůstá exponenciálně v závislosti na úhlu otáčení kolem něj. Při zvětšování a současném otáčení tato křivka přechází sama v sebe.

Překvapivě často objevíme tuto spirálu v přírodě, ať už při pohledu na uspořádání semínek v květu slunečnice, způsobu stáčení ulity hlemýždě, nebo při pohledu na hvězdnou oblohu, kde některé galaxie jsou uspořádány do celé řady logaritmických spirál. Po takové spirále se pohybujeme, pokud bychom vyšli ze severního pólu např. na jihovýchod.

Tato křivka má zřejmě hlubší význam také v umění, neboť ji lze objevit v souvislosti s prostorovým rozmístěním postav či předmětů na obrazech velkých malířů. Geometrická schémata různých typů více či méně prostupují kompozicí mnohých známých pláten. Umělec většinou postupuje intuitivně, a je zajímavé, kolik geometrických souvislostí lze poté v jeho díle nalézt. Jako příklad můžeme uvést jednu Rafaelovu skicu z let 1509-1510, nazvanou Vraždění neviňátek. Dynamiku a dramatičnost biblického námětu pochopil později slavný rytec Marc Antonio Raimondi, když v duchu geometrického rozmístění hlavních figur dokončil motiv skici do podoby mědirytiny. Jak ukazuje náčrtek na pozadí rytiny, postavy oblouk mostu a základní směry jsou uspořádány podivuhodně přesně do podoby logaritmické spirály.